Большая советская энциклопедия - управляемый случайный процесс

Управляемый случайный процесс, случайный процесс, вероятностные характеристики которого можно изменять с помощью управляющих воздействий. Основная цель теории У. с. п. – отыскание оптимальных (или близких к ним) управлений, доставляющих экстремум заданному критерию качества. В простейшем случае управляемых марковских цепей одна из математических постановок задачи нахождения оптимального управления формулируется следующим образом. Пусть Xd = (xn,), n = 0, 1,..., – семейство однородных марковских цепей с конечным числом состояний Е = {0, 1, ..., N} и матрицами переходных вероятностей Pxy (d) = {x1 = у}, зависящих от параметра d, принадлежащего некоторому множеству управляющих воздействий D. Набор функций a = {а0 (x0), a1 (x0, x1),...} со значениями в D называют стратегией, а каждую из функций an = ап (х0,..., хп) – управлением в момент времени n. Каждой стратегии a отвечает управляемая марковская цепь Xa = (хп,), n = 0, 1,..., где (x0, x1..., хп) = d(х0, х) Рх0х1 (a0 (x0))... Pxn-1xn (an-1(x0, x1,..., xn-1)) Пусть: где функция f (d, х) ? 0 и f (d,0) = 0 (если точка {0} является поглощающим состоянием и f (d, x) = I, d I D, x = 1,..., N, то Va (x) есть матем. ожидание времени попадания из точки х в точку 0). Функцию называется ценой, а стратегию а* – оптимальной, если = V (x) для всех х I Е. При довольно общих предположениях о множестве D устанавливается, что цена V (x) удовлетворяет следующему уравнению оптимальности (уравнению Беллмана): , где В классе всех стратегий наибольший интерес представляют т. н. однородные марковские стратегии, характеризуемые одной функцией а (х) такой, что an (x0,..., xn) = a (xn) при всех n = 0, 1,... Следовательно, критерий оптимальности (или достаточное условие оптимальности) может быть использован для проверки того, что данная однородная марковская стратегия является оптимальной: пусть существуют функции a* = а*(х) и V* = V*(x) такие, что для любого d I D 0 = f (x, a*(x)) + La*V*? f (x, d) + LdV*(x) (Ld = Td – I, I – единичный оператор), тогда V* является ценой (V* = V) и стратегия a* = a*(х) является оптимальной. Лит.: Ховард Р.-А., Динамическое программирование и марковские процессы, пер. с англ., М. 1964. А. Н. Ширяев.